Зависимость емкости конденсатора от диэлектрической проницаемости диэлектрика
Факторы, влияющие на емкость конденсатора
На емкость конденсатора влияют три основных фактора.
ПЛОЩАДЬ ПЛАСТИН: При прочих равных условиях, большая площадь пластин даст большую ёмкость, а меньшая — меньшую.
Объяснение: большая площадь пластин приводит к увеличению заряда, накапливаемого на пластинах для данного электрического поля (напряжения между пластинами).
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПЛАСТИНАМИ: При прочих равных условиях, большее расстояние дает меньшую емкость и наоборот.
Объяснение: меньшее расстояние создает большую силу поля (напряжение, деленное на расстояние между пластинами), что приводит к накоплению большего заряда для любого заданного напряжения.
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ: При прочих равных условиях, материал с большей относительной диэлектрической проницаемостью дает большую емкость и наоборот.
Объяснение: некоторые материалы меньше сопротивляются интенсивности поля при любом заданном напряжении, а следовательно, накапливают больший заряд.
Относительная диэлектрическая проницаемость характеризует проницаемость материала в сравнении с чистым вакуумом. Чем больше число, тем больше диэлектрическая проницаемость материала. Относительная диэлектрическая проницаемость стекла, например, в семь раз выше относительной диэлектрической проницаемости вакуума. Это позволяет создать интенсивность поля в семь раз большую, чем у вакуума, при прочих равных условиях.
Ниже приведена таблица относительной диэлектрической проницаемости наиболее распространенных материалов:
| Материал | Относительная диэлектрическая проницаемость | ||
| Вакуум | 1,0000 | ||
| Воздух | 1,0006 | ||
| Тефлон | 2,0 | ||
| Полипропилен | 2,20 — 2,28 | ||
| Каучук | 2,4 | ||
| Полистирол | 2,45 — 4,0 | ||
| Вощеная бумага | 2,5 | ||
| Трансформаторное масло | 2,5 — 4,0 | ||
| Жесткая резина | 2,5 — 4,8 | ||
| Дерево (дуб) | 3,3 | ||
| Силикон | 3,4 — 4,3 | ||
| Бакелит | 3,5 — 6,0 | ||
| Кварц | 3,8 | ||
| Дерево (клен) | 4,4 | ||
| Стекло | 4,9 — 7,5 | ||
| Касторовое масло | 5,0 | ||
| Дерево (береза) | 5,2 | ||
| Слюда | 5,0 — 8,7 | ||
| Фарфор | 6,5 | ||
| Оксид алюминия, глинозем | 8,0 — 10,0 | ||
| Дистиллированная вода | 80,0 | ||
| Барий-стронций титанит | 7500 | ||
Приблизительная емкость для любой пары разделенных проводников может быть найдена с помощью следующей формулы:
Конденсатор можно сделать переменным, если изменяемым будет любой из факторов, влияющих на его емкость. Наиболее легко изменяемым фактором является площадь пластин.
Следующие фотографии показывают пример переменного конденсатора, который состоит из набора чередующихся металлических пластин, и использующий воздушный зазор в качестве диэлектрического материала:
3.2. Емкость
Устройство из двух пластин, способных сохранять электрический заряд, называется конденсатором. Если между двумя заряженными объектами поместить тестовый положительный заряд q0, на него начнет действовать электрическая сила, направленная от положительной пластины к отрицательной. Положительно заряженная пластина будет отталкивать тестовый заряд, а отрицательно заряженная — притягивать его. В зависимости от расположения тестового заряда между пластинами, эта сила будет иметь разное направление и величину, характеризуемые вектором f
Рис. 3.4 А — Электрический заряд и напряжение определяют емкость между двумя объектами,
Б — конденсатор с параллельными пластинами.
Конденсатор характеризуется величиной заряда q, накопленного на обоих пластинах, и напряжением V — положительной разностью потенциалов между ними (рис. 3.4А). Следует отметить, что q не соответствует суммарному заряду конденсатора, равного нулю, а К не является потенциалом каждой пластины, а выражает разность потенциалов между ними. Отношение заряда к напряжению является константой для каждого конденсатора:
(3.17)
При включении в электронную схему емкость конденсатора может быть выражена в виде комплексного сопротивления:
(3.18)
Где 
, аi — это синусоидальный ток с частотой ω. Из формулы видно, что комплексное сопротивление конденсатора уменьшается с ростом частоты. Выражение (3.18) называется законом Ома для конденсаторов. Знак минус в этой формуле означает, что напряжение на конденсаторе отстает от тока на 90°.
3.2.1 Конденсатор
Для вычисления емкости необходимо знать разность потенциалов между пластинами V и заряд конденсатора q:
(3.19)
Существует еще одна формула для нахождения емкости плоского конденсатора:
(3.20)
Именно эта зависимость чаще всего используется при проектировании емкостных датчиков.
На рис. 3.5А показан цилиндрический конденсатор. Он состоит из двух коаксиальных цилиндров, радиусы которых равны ей, а длина — l. Если l»b, краевыми эффектами можно пренебречь, а для вычисления емкости использовать следующую формулу:
(3.21)
В этом выражении l — длина зоны перекрытия двух цилиндров (рис. 3.5Б), а коэффициент 2π/lп(b/а) называется геометрическим фактором коаксиального конденсатора. Если внутренний цилиндр способен вдвигаться внутрь внешнего цилиндра и выдвигаться из него, на основании такой конструкции можно реализовать датчик перемещений, обладающий линейной зависимостью между емкостью и перемещением (см. уравнение 3.21).
Рис. 3.5 А — цилиндрический конденсатор, Б — емкостной датчик перемещения
3.2.2. Диэлектрическая проницаемость
Увеличение емкости конденсатора, благодаря наличию между его пластинами диэлектрика, объясняется эффектом поляризации молекул. В некоторых диэлектриках (например, в воде) молекулы обладают постоянным дипольным моментом, тогда как в других диэлектриках молекулы становятся поляризованными только после того, как они попадают под действие внешнего электрического поля. Такая поляризация называется индуцированной. В обоих случаях поляризации внешнее приложенное поле всегда стремится к выравниванию направлений молекул. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика. Он проиллюстрирован на рис. 3.6. На рис. 3.6А показано расположение диполей до того, как на конденсатор было подано внешнее электрическое поле. А на рис. 3.6Б показаны те же диполи при подключенном электрическом напряжении. Каждый диполь формирует свое собственное электрическое поле, которое в большинстве случаев направлено против внешнего электрического поля Е0. Благодаря сложению полей большого количества диполей (Е’), результирующее поле внутри конденсатора становится слабей (Е = Е0 + Е’) по сравнению со случаем конденсатора без диэлектрика, когда электрическое поле было равно Е
Рис. 3.6 Поляризация диэлектрика А — без внешнего электрического поля диполи имеют произвольную ориентацию, Б — диполи выравниваются вдоль силовых линий приложенного электрического поля.
В литературе на русском языке чаще всего используется относительная диэлектрическая проницаемость ε.
Уменьшение электрического поля ведет к снижению напряжения на конденсаторе: V= Vo /k. Подставляя это выражение в формулу (3.19), получим выражение для нахождения емкости конденсатора с диэлектриком между проводниками:
(3.22)
Для конденсатора с параллельными пластинами справедливо следующее соотношение:
(3.23)
В более общей форме емкость между двумя объектами можно выразить при помощи геометрического фактора G:
(3.24)
где G определяется формой объекта (пластин) и расстоянием между ними. В Приложении приведены диэлектрические константы различных материалов.
Диэлектрические константы определяются при заданных частоте и температуре. Диэлектрические константы некоторых диэлектриков почти не меняются в очень широком частотном диапазоне (например, у полиэтилена), в то время как у других — демонстрируют сильную отрицательную зависимость от частоты, т.е. их значения уменьшаются с ростом частоты. На рис. 3.7 показана зависимость диэлектрической константы от температуры, полученная для воды.
Рис. 3.7 Зависимость диэлектрической константы от температуры для воды
Для построения электронных схем очень важно применять конденсаторы, характеристики которых близки к идеальным. Однако при проектировании емкостных датчиков необходимо выбирать конденсаторы с параметрами, изменяющимися либо от температуры, либо от давления, либо от влажности, либо от любого другого исследуемого фактора. Если какая-либо характеристика конденсатора меняется при определенном внешнем воздействии, на его основе можно построить соответствующий датчик.
Рассмотрим емкостной датчик, измеряющий уровень воды (рис. 3.8А). Он изготовлен на основе коаксиального конденсатора, в котором поверхность каждого цилиндра покрыта тонким слоем изоляционного материала для предотвращения короткого замыкания через воду (этот слой также является диэлектриком, но он не будет учитываться в последующих рассуждениях, поскольку его свойства не меняются в процессе измерений). Датчик размещается в резервуаре с водой. При увеличении уровня вода заполняет все больший объем между коаксиальными проводниками, изменяя при этом емкость датчика. Полная емкость датчика определяется следующим выражением:
(3.25)
где С1 — емкость части датчика, свободной от воды, а С2 — емкость части датчика, заполненной водой, а G1`и G2 —соответствующие геометрические факторы. Из формул (3.21) и (3.25) можно получить выражение для полной емкости датчика:
, (3.26)
где h — высота части датчика, заполненной водой. Если вода находится ниже уровня h0, емкость датчика остается постоянной и равной:
(3.27)
Рис. 3.8 А — емкостной датчик уровня воды, Б — зависимость емкости датчика от уровня воды
