Время переходного процесса конденсатора

Классический метод расчета переходных процессов

Классическим называют метод расчета переходных процессов, в котором решение дифференциального уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной составляющей.

Порядок решения задач классическим методом:

Для цепи после коммутации составить систему дифференциальных уравнений по IиIIзаконам Кирхгофа.

Определить независимые начальные условия (uC иiL) из расчета режима цепи до коммутации с применением законов коммутации.

Записать искомые величины в виде суммы принужденных и свободных составляющих.

Найти принужденные составляющие, рассчитав установившийся режим цепи после коммутации.

Составить характеристическое уравнение и вычислить его корни.

В зависимости от вида корней характеристического уравнения записать свободные составляющие и искомые решения в общем виде.

Для определения постоянных интегрирования записать искомые величины, их производные и систему дифференциальных уравнений для момента t=0.

Подставить вычисленные постоянные интегрирования в искомые решения.

Построить графики изменения токов и напряжений во время переходного процесса.

Переходные процессы вRl-цепях постоянного тока

Пусть катушка индуктивности включается на постоянное напряжение (рис. 45). Определить законы изменения тока и падений напряжений на индуктивности и резисторе во время переходного процесса.

ПоIIзакону Кирхгофа для послекоммутационной схемы:.;;.

Ток переходного процесса будем искать в виде суммы принужденной и свободной составляющих. Для нахождения принужденной составляющей тока необходимо рассчитать установившийся режим после коммутации. , т.к. в установившемся режиме при протекании постоянного тока индуктивность ведет себя как идеальный провод, падения напряжения на ней не происходит.

Характеристическое уравнение: ; его корень.

Свободную составляющую тока будем искать в виде: , гдеА– постоянный коэффициент, определяющийся из начальных условий.

.

По первому закону коммутации: , т.к. до коммутации цель была отключена от источника ЭДС. Отсюда;. Тогда ток через индуктивность во время переходного процесса будет изменяться по закону:(рис. 46).

Обозначим— постоянная времени, которая определяет скорость изменения тока или напряжения во время переходного процесса. Для данной электрической цепи. Единицы измерения постоянной времени:

.

Доказано, что за время переходный процесс полностью затухает, в цепи наступает установившийся режим.

Падение напряжения на резисторе: (см. рис. 46).

Падение напряжения на индуктивности:

Вам понравится:  Phemt транзисторы принцип работы

(см. рис. 46).

Примечание. При построении графиков функций вида следует иметь ввиду следующие соотношения:

Источник

5.5 Переходные процессы в цепи с последовательно включенными резисторами и конденсатором

5.5.1. Разряд конденсатора на резистор

Рассмотрим переходный процесс при коротком замыкании в цепи с конденсатором и резистором (рис. 5.8), если предварительно конденсатор был заряжен до напряжения

Рис. 5.8

Установившийся ток через конденсатор и установившееся напряжение на конденсаторе равны нулю. Для построения характеристического уравнения запишем по второму закону Кирхгофа уравнение для вновь образованного контура

При расчете переходных процессов в цепях с конденсатором часто удобнее отыскать сначала не ток, а напряжение на конденсаторе uC , а затем учитывая, что , найти ток через конденсатор. Поэтому запишем уравнение по второму закону Кирхгофа в виде:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Общее решение для свободной составляющей напряжения:

где: А = U – постоянная интегрирования; p = — 1 / (RC) – корень характеристического уравнения; τ = RC – постоянная времени цепи.

С учетом нулевого значения установившегося напряжения получим напряжение на конденсаторе:

Переходный ток в цепи

.

Рис. 5.9

Кривые изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи во времени имеют вид экспонент (рис. 5.9).

С энергетической точки зрения переходный процесс характеризуется переходом энергии электрического поля конденсатора в тепловую энергию в резисторе. Следует отметить; что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты, а на начальное значение тока и длительность разряда. В самом деле

.

5.5.2. Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение (заряд конденсатора)

Из схемы, приведенной на рис. 5.10, следует, что установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе u = U, а свободная составляющая, очевидно, равна

Рис. 5.10

Полагаем, что до замыкания ключа конденсатор не был заряжен (Uс(0) = 0). На основании законов коммутации uC(0) = uC(0+) = 0, при t = 0; следовательно:

uC(0) = u(0) + uCсв(0) или 0 = U + A, откуда А = -U.

Тогда переходное напряжение на конденсаторе

а переходный ток в цепи

.

Зависимости напряжений и токов от времени показаны на рис. 5.10. Из них видно, что напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону от нуля до напряжения источника, а ток уменьшается от начального значения до нуля также по экспоненте. Длительность их изменения определяется постоянной времени τ = RC. Здесь как и в п. 5.5.1 время переходного процесса принимается равным t ≈ (3 ÷ 5)τ.

5.5.3. Включение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение

Рис. 5.11

Вам понравится:  Как разобрать электро розетку

Пусть напряжение источника изменяется по закону

Установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе (см. рис. 5.11) равна:

где: — полное сопротивление цепи; XC = 1 / (ωC) – емкостное сопротивление; φ = -arctg(XC / R) – угол сдвига фаз между установившимся током в цепи и приложенным синусоидальным напряжением.

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе

uCсв = A e -t/τ , τ = RC.

Переходное напряжение на конденсаторе

.

Рис. 5.12

Полагая, что uC(0) = 0, для постоянной интегрирования получим

.

Окончательно напряжение на конденсаторе можно записать в виде

.

.

Зависимости переходного напряжения на конденсаторе от времени при различных значениях разностей ψ — φ показаны на рис. 5.12. Их анализ позволяет сделать следующие выводы.

Если в момент включения мгновенное значение установившегося напряжение на конденсаторе равно нулю (ψ – φ – π / 2 = 0), то и свободная составляющая напряжения равна нулю. В цепи сразу устанавливается режим (рис. 5.12 а).

Если в момент включения мгновенное значение установившегося напряжение на конденсаторе имеет наибольшее значение (ψ – φ – π / 2 = π / 2), то переходное напряжение достигает максимального значения приблизительно через половину периода и может приблизиться к удвоенной амплитуде установившегося напряжения, но не превысит его (рис. 5.12 в).

Источник

Переходные процессы при зарядке и разрядке конденсатора

Рассмотрим схему, в которой путем включения переключателя П в положение 1 замыкают источник постоянного напряжения U на конденсатор емкостью С. На обкладках конденсатора начинают скапливаться заряды и напряжение ис увеличивается до значения, равного U. Это процесс зарядки конденсатора – процесс увеличения энергии электрического поля конденсатора, которая в конце процесса достигает значения CU 2 /2.

Чтобы зарядить конденсатор до напряжения ис=U, ему надо сообщить заряд Q=CU, Этот заряд не может быть сообщен мгновенно, так как для этого потребовался бы ток i=dQ/dt=Q/0=.

В действительности зарядный ток в цепи ограничен сопротивлением R и в первый момент не может быть больше U/R. Поэтому процесс зарядки конденсатора растянут во времени и напряжение ис на конденсаторе нарастет постепенно.

Для переходного процесса зарядки конденсатора, включенного по рассматриваемой схеме, можно записать

Ток в такой цепи

Подставляя данное выражение в предыдущее, получим

Найдем напряжение на конденсаторе:

Свободное напряжение ис находят, решая однородное дифференциальное уравнение

которому соответствует характеристическое уравнение RCp+1=0, откуда р=-1/(RC). Тогда свободное напряжение

где τ=RC – постоянная времени цепи.

Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном режиме

Вам понравится:  Показать ресивер к антенне триколор

причем

,

В предыдущих двух уравнениях постоянную А находят с учетом второго закона коммутации из начальных условий режима работы цепи, которые различны для процессов зарядки и разрядки конденсатора.

Зарядка конденсатора. Рассмотрим конденсатор, который до включения переключателя П в положение 1 не был заряжен. По окончании процесса зарядки напряжение на конденсаторе равно напряжению источника питания U, что следует из уравнения , если учесть, что в установившемся режиме i=i’=0. Таким образом, установившееся напряжение на конденсаторе ис=U. Постоянную А в уравнении определяют, полагая, что при t=0 ис=0. Тогда A=-U.

Итак, напряжение в переходном режиме при зарядке конденсатора изменяется по закону

Для определения тока в цепи в необходимо принять i’=0 и А=-U, после чего получим

На рисунке показано изменение тока в цепи и напряжения на конденсаторе при его зарядке. В начальный момент процесса зарядки ток в цепи ограничен только сопротивлением и при малом значении R может достигать больших значений I=U/R. Переходный процесс, протекающий при зарядке конденсатора, используют в различных устройствах автоматики, например в электронных реле времени.

Постоянная времени τ=RC характеризует скорость зарядки конденсатора. Чем меньше R и С, тем быстрее заряжается конденсатор.

Разрядка конденсатора. Если переключатель П включить в положение 2, то заряженный до напряжения Uс конденсатор начнет разряжаться через резистор R. Энергия электрического поля конденсатора будет постепенно расходоваться на нагревание резистора и окружающей среды. По истечении некоторого времени установится режим, при котором напряжение на конденсаторе будет равно нулю (конденсатор полностью разряжен), а тока в цепи не будет.

Принимая ис=0 и находя из начальных условий (при t=0 uc=Uс) А=Uc, получаем, что напряжение на конденсаторе при разрядке, описываемое формулой

,

а ток в цепи, описываемый формулой , с учетом, что i’=0,

Итак, напряжение и ток убывают по экспоненциальному закону. Ток в цепи отрицательный, т. е. направлен противоположно току во время процесса зарядки. Скорость разрядки конденсатора определяется постоянной времени τ=RC. В начальный момент ток разрядки I=Uc/R. Если бы ток оставался постоянным, то конденсатор полностью разрядился бы через tразр=Q/I=CUC/(UC/R)=RC=τ.

Поэтому, постоянную времени можно определить как промежуток времени, в течение которого конденсатор полностью зарядился (или разрядился) бы, если бы ток зарядки (или разрядки) оставался постоянным и равным начальному значению U/R (или Uc/R).

Источник

Оцените статью
Частотные преобразователи
Adblock
detector